【題目】已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】解（1）；（2）或.

【解析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得 ，化簡得.原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

（1）由是面積為的等邊三角形，得，

所以，，從而，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，當(dāng)軸時(shí)，，則為橢圓的短軸，故有，，三點(diǎn)共線，不合題意.

所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去，得，

所以有，，

則 ，

即，化簡得.

因?yàn)?/span>，所以有且.

原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，

所以當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.

因?yàn)?/span>，而，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值為3，面積的最大值.

把代入，得，所以有，

即直線的方程為或.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)．

(1) 解關(guān)于x的不等式；

(2) 若函數(shù)的圖像恒在函數(shù)圖像的上方，求m的取值范圍．

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【題目】上海市旅游節(jié)剛落下帷幕，在旅游節(jié)期間，甲、乙、丙三位市民顧客分別獲得一些景區(qū)門票的折扣消費(fèi)券，數(shù)量如表1，已知這些景區(qū)原價(jià)和折扣價(jià)如表2（單位：元）.

表1：

數(shù)量

景區(qū)1

景區(qū)2

景區(qū)3

甲

0

2

2

乙

3

0

1

丙

4

1

0

表2：

門票

景區(qū)1

景區(qū)2

景區(qū)3

原價(jià)

60

90

120

折扣后價(jià)

40

60

80

（1）按照上述表格的行列次序分別寫出這三位市民獲得的折扣消費(fèi)券數(shù)量矩陣A和三個(gè)景區(qū)的門票折扣后價(jià)格矩陣B；

（2）利用你所學(xué)的矩陣知識，計(jì)算三位市民各獲得多少元折扣？

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【題目】（2017高考新課標(biāo)Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

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【題目】已知是橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓與拋物線具有一個(gè)相同的焦點(diǎn)．

（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）設(shè)過且互相垂直的兩動(dòng)直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值

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【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移8個(gè)單位長度，得到幾何體如圖一，現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為__________．

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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，人們更加關(guān)注如何高效地獲取有價(jià)值的信息，網(wǎng)絡(luò)知識付費(fèi)近兩年呈現(xiàn)出爆發(fā)式的增長，為了了解網(wǎng)民對網(wǎng)絡(luò)知識付費(fèi)的態(tài)度，某網(wǎng)站隨機(jī)抽查了歲及以上不足歲的網(wǎng)民共人，調(diào)查結(jié)果如下：

（1）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，能否認(rèn)為網(wǎng)民對網(wǎng)絡(luò)知識付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)？

（2）在上述樣本中用分層抽樣的方法，從支持和反對網(wǎng)絡(luò)知識付費(fèi)的兩組網(wǎng)民中抽取名，若在上述名網(wǎng)民中隨機(jī)選人，求至少1人支持網(wǎng)絡(luò)知識付費(fèi)的概率.

附：，.

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【題目】設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.的方程為

B.在上存在點(diǎn)，使得

C.當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線

D.在三棱錐中，面，且，，，該三棱錐體積最大值為12

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