在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(0,2),O(0,0),D(t,0)(t>0)三點(diǎn),M是線段AD上的動點(diǎn),l1,l2是過點(diǎn)B(1,0)且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交y軸于E,l2交圓C于P、Q兩點(diǎn),若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù),求△EPQ的面積的最小值.
考點(diǎn):圓的一般方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:直線與圓
分析:設(shè)M(x,y),由點(diǎn)M在線段AD上,得2x+ty-2t=0,由AM≤2BM,得(x-
4
3
2+(y+
2
3
2
20
9
,依題意,線段AD與圓(x-
4
3
2+(y+
2
3
2
20
9
至多有一個公共點(diǎn),故
|
8
3
-
8
3
t|
4+t2
2
5
3
,由此入手能求出△EPQ的面積的最小值.
解答: 解:設(shè)M(x,y),由點(diǎn)M在線段AD上,得
x
t
+
y
2
=1

即2x+ty-2t=0,
由AM≤2BM,得(x-
4
3
2+(y+
2
3
2
20
9
,
依題意,線段AD與圓(x-
4
3
2+(y+
2
3
2
20
9
至多有一個公共點(diǎn),
|
8
3
-
8
3
t|
4+t2
2
5
3
,
解得t≤
16-10
3
11
或t≥
16+10
3
11
,
∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù),∴t=4,
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
①當(dāng)直線l2:x=1時,直線l1的方程為y=0,此時S△EPQ=2;
②當(dāng)直線l2的斜率存在時,設(shè)l2的方程為y=k(x-1),k≠0,
則l1的方程為y=-
1
k
(x-1)
,點(diǎn)E(0,
1
k
),∴BE=
1+
1
k2
,
又圓心到l2的距離為
|k+1|
1+k2

∴PQ=2
5-(
|k+1|
1+k2
)2
=2
4k2-2k+4
1+k2
,
∴S△EPQ=
1
2
BE•PQ

=
1
2
1+
1
k2
•2
4k2-2k+4
1+k2

=
4k2-2k+4
k2

=
4
k2
-
2
k
+4
15
2

15
2
<2,
∴(S△EPQmin=
15
2
點(diǎn)評:本題考查三角形面積的最小值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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1
S1
+
1
S2
+
1
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+…+
1
Sn
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