Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項a₁為a，d=2，前n項和為S_n．
（Ⅰ）若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：?n∈N^*，S_n，S_n+1，S_n+2不構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的前n項和，結(jié)合S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求出a，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求前n項和公式，求出S_n•S_n+2、S_n+1²的表達(dá)式，再化簡S_n•S_n+2-S_n+1²證明小于0，由等比中項的性質(zhì)?n∈N^*，S_n，S_n+1，S_n+2不構(gòu)成等比數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的首項a₁為a，公差d=2，
則數(shù)列的前n項和為S_n=na+n（n-1）=n²+（a-1）n．
∵S₁=a，S₂=2a+2，S₄=4a+12，S₁，S₂，S₄等比數(shù)列，
∴（2a+2）²=a（4a+12），解得a=1，
數(shù)列{a_n}的通項公式：a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S_n=n²+（a-1）n，對n∈N^*，a∈R，
S_n•S_n+2=[n²+（a-1）n][（n+2）²+（a-1）（n+2）]
=n²（n+2）²+n²（a-1）（n+2）+（a-1）n（n+2）²+（a-1）²n（n+2）
=n（n+2）[（n+a）²-1]，
S_n+1²=[（n+1）²+（a-1）（n+1）]²
=（n+1）²（n+a）²
則S_n•S_n+2-S_n+1²=n（n+2）[（n+a）²-1]-（n+1）²（n+a）²
=-（n+a）²-n（n+2）＜0．
即對n∈N^*，a∈R，S_n•S_n+2-S_n+1²＜0成立，
所以?n∈N^*，S_n，S_n+1，S_n+2不構(gòu)成等比數(shù)列．

點評：本題考查等差、等比數(shù)列的前n項和公式，通項公式，以及利用等比中項的性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力．