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【題目】在三棱錐中，，分別是線段，的中點，底面是正三角形，延長到點，使得.

（1）為線段上確定一點，當平面時，求的值；

（2）當平面，且時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）解三角形求得，根據線面平行的性質定理得到，根據平行線等分線段求得的值.

（2）建立空間直角坐標系，根據平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（1）在正中，為線段的中點，故

在中，，故

在中，，故，故

因為平面，過的平面平面，

所以

因為是線段的中點，所以為線段的中點.

從而.

（2）因為平面，，所以，，兩兩垂直.以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，

建立空間直角坐標系.記，

則，，，

又，所以.于是，，.

令平面的一個法向量為，

則由得，

令，得.而平面的一個法向量為，

所以，

故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長為2的菱形， 為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且， ， .

（1）若， 分別為， 的中點，求證： 平面；

（2）若， 與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓，為其左焦點，在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同的兩點，以為直徑的圓過原點，求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為實現國民經濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度，某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫貧的戶數占當年貧困戶總數的比）為70％，2015年開始全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加戶數占2019年貧困總戶數的比）及該項目的脫貧率見下表：

實施項目

種植業(yè)

養(yǎng)殖業(yè)

工廠就業(yè)

參加占戶比

45％

45％

10％

脫貧率

96％

96％

90％

那么2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（ ）倍.

A.B.C.D.

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【題目】已知橢圓C：的離心率為，的面積為2.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點P，直線與直線交于點Q.求證:△BPQ為等腰三角形.

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【題目】對于定義域為的函數，如果存在區(qū)間滿足是上的單調函數，且在區(qū)間上的值域也為，則稱函數為區(qū)間上的“保值函數”，為“保值區(qū)間”．根據此定義給出下列命題：①函數是上的“保值函數”；②若函數是上的“保值函數”，則；③對于函數存在區(qū)間，且，使函數為上的“保值函數”．其中所有真命題的序號為（ ）

A.②B.③C.①③D.②③

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a.

（1）求不等式f（x）＞4的解集；

（2）對x1∈R，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（a＞b＞0）過點E（，1），其左、右頂點分別為A，B，左、右焦點為F1，F2，其中F1（，0）．

（1）求橢圓C的方程：

（2）設M（x0，y0）為橢圓C上異于A，B兩點的任意一點，MN⊥AB于點N，直線l：x0x+2y0y﹣4＝0，設過點A與x軸垂直的直線與直線l交于點P，證明：直線BP經過線段MN的中點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面.

(1)設BD與AC的交點為O，求證:平面；

(2)求二面角的正弦值.

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