Question

已知復數(shù)z₁滿足（1+i）z₁=3+i，復數(shù)z滿足．
（1）求復數(shù)z；
（2）設z是關于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，求p、q的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的復數(shù)滿足的條件，表示出復數(shù)，進行復數(shù)的除法運算，得到代數(shù)形式的標準形式，根據(jù)兩個復數(shù)之間的關系，利用復數(shù)相等的條件得到結果．
（2）z是關于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，得1-i是實系數(shù)方程x²-px+q=0的根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系，寫出字母系數(shù)的表示式，得到結果．
解答：解：（1）因為（1+i）z₁=3+i，所以，（2分）
設z=a+bi（a，b∈R），且．
所以（a+bi）（2-i）+a-bi=4⇒（3a+b）+（b-a）i=4（2分）
由兩復數(shù)相等的定義得：，解得（1分）
所以復數(shù)z=1+i．（1分）
（2）z是關于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，
得1-i是實系數(shù)方程x²-px+q=0的根，（2分）
所以p=（1+i）+（1-i）=2（2分）
q=（1+i）•（1-i）=2（2分）
點評：本題考查實系數(shù)的一元二次方程的根與系數(shù)的關系，本題解題的關鍵是根據(jù)所給的一個虛數(shù)根寫出另一個虛數(shù)根，本題是一個中檔題目．