已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)定義域內(nèi)的任意x,滿足,當(dāng)時(shí),a為常),且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)如果當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;

(3)求證:

 

【答案】

(1);(2)2(3)詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)利用為奇函數(shù),所以設(shè),利用,求出時(shí)的,然后再求時(shí)的,再根據(jù),求出,驗(yàn)證所求能夠使是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn);(2)不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè),即求的最小值,求,再設(shè),易求,當(dāng)時(shí),為增函數(shù),最小, ,即逐步分析為單調(diào)遞增函數(shù),從而求得最小值.(3)通過(guò)代入(2)式恒成立不等式,變形放縮后得到,為出現(xiàn)(2)要證形式,所以令,,然后將k=1,2, n,代入上式,累加,從而得出要證不等式.此題綜合性較強(qiáng).

試題解析:(1)由題知對(duì)定義域內(nèi)任意,,為奇函數(shù),

當(dāng)時(shí),,,

當(dāng)時(shí),

由題知:,解得,經(jīng)驗(yàn)證,滿足題意.

(2)(1)

當(dāng)時(shí),,令

時(shí),恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立.

,則,

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

則若恒成立,則

的最大值2.

(3)(2)知當(dāng)時(shí),有,即

,則

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),

將以上不等式兩端分別相加得:

.

考點(diǎn):1.函數(shù)極值的應(yīng)用;2.利用導(dǎo)數(shù)求最值;3.證明不等式的方法.

 

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(1)求;

(2)若,且的真子集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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0

下列關(guān)于函數(shù)的命題:

①函數(shù)上是減函數(shù);②如果當(dāng)時(shí),最大值是,那么的最大值為;③函數(shù)個(gè)零點(diǎn),則;④已知的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,則的最大值為。

其中真命題的個(gè)數(shù)是(           )

A、4個(gè)    B、3個(gè)  C、2個(gè)  D、1個(gè)

 

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    A.    B.  C.    D.

 

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