Question

如圖1，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，CD∥AB，AB=2AD=2CD=4，M為線段AB的中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2，所示．
（1）求證：平面BCD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證BC⊥平面ACD，只需證明BC垂直平面ACD內(nèi)的兩條相交直線AC、OD即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量的數(shù)量積，求二面角A-CD-M的余弦值．

解答： （1）證明：在圖1中，可得AC=BC=2

2

，
從而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC，
取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)DO，則DO⊥AC，
又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，
從而OD⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACD．
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，
則M（0，

2

，0），C（-

2

，0，0），D（0，0，

2

），

CM

=（

2

，

2

，0），

CD

=（

2

，0，

2

），
設(shè)

n

=（x，y，z）為面CDM的法向量，
則

n • CM = 2 x+ 2 y=0 n • CD = 2 x+ 2 z=0

，
令x=-1，可得

n

=（-1，1，1）
又

m

=（0，1，0）是面ACD的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

，
∴二面角A-CD-M的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面的存在的判定，二面角的求法，考查邏輯思維能力和空間想象能力，是中檔題．