用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形容器，求：扇形的圓心角多大時，容器的容積最大？并求出此時容器的最大容積．
設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r2+h2=R2，
因此，V=
1
3
πr2h
=
1
3
π(R2-h2)h=
1
3
πR2h-
1
3
πh3(0＜h＜R)．…（3分）
V′=
1
3
πR2-πh2．
令V'=0，即
1
3
πR2-πh2=0，得 h=
3
3
R．…（5分）
當(dāng) 0＜h＜
3
3
R時，V'＞0．
當(dāng)
3
3
R＜h＜R時，V'＜0．
所以，h=
3
3
R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．…（8分）
把 h=
3
3
R代入r2+h2=R2，得 r=
6
3
R．
由Rα=2πr，得 α=
2
6
3
π
答：圓心角α為
2
6
3
π弧度時，漏斗容積最大．…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx在兩個極值點(diǎn)x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]．
（1）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域；
（2）證明：-10≤f(x2)≤-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在x=2處取得極值為c=16．
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)5（x）=x3+bx2+bx+c（實(shí)數(shù)b，b，c為常數(shù)）的圖象過原點(diǎn)，且在x=1處的切線為直線y=-
1
2
．
（1）求函數(shù)5（x）的解析式；
（2）若常數(shù)口＞0，求函數(shù)5（x）在區(qū)間[-口，口]上的最5值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=exsinx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知f（x）=2x3-6x+m（m為常數(shù)），在[0，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[0，2]上的最小值為（　�。�
A．-1B．-3C．-5D．5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
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2
x2+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)x＞1時，
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2
x2+lnx＜
2
3
x3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=-2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案