Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其圖象經(jīng)過M（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，且f（A）=

3

5

，f（B）=

5

13

，求f（C）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得正數(shù)A=1．利用三角函數(shù)周期公式算出ω=1．再由M（0，1）在函數(shù)圖象上，建立方程解出φ=

π

2

，即可得到f（x）的解析式；
（2）由（1）得f（x）=cosx，從而得到f（A）=cosA=

3

5

且f（B）=cosB=

5

13

．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sinA=

4

5

，sinB=

12

13

，再根三角形的內(nèi)角和與據(jù)誘導(dǎo)公式算出cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

33

65

，即可得到 f（C）的值為cosC=

33

65

．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）的最大值是1，且A為正數(shù)，所以A=1．
因為函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，且ω＞0，所以T=

2π

ω

=2π，解得ω=1．
所以f（x）=sin（x+φ）．
∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點M（0，1），∴sinφ=1．
結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=

π

2

，得f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）由（1）得f（x）=cosx，所以f（A）=cosA=

3

5

且f（B）=cosB=

5

13

．
∵A、B∈（0，π），∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，sinB=

1-cos2B

=

12

13

．
可得cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

∴f（C）的值為cosC=

33

65

．

點評：本題給出三角函數(shù)圖象滿足的條件，求函數(shù)的表達(dá)式并依此求特殊的函數(shù)值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的余弦公式等知識，屬于中檔題．