【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣2，2]，若對于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0
（1）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（1）=3求f（x）在[﹣2，2]上的值域．

【答案】
（1）證明：令x=y=0，∴f（0）=0，

令y=﹣x，∴f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）．

故f（x）為奇函數(shù)


（2）解：f（x）在[﹣2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．下面給出證明：

任取﹣2≤x1＜x2≤2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，

∵f（x）在[﹣2，2]上的奇函數(shù)，

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在[﹣2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．值域為[﹣6，6]


【解析】（I）令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=﹣x，代入即可判斷出奇偶性．（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．利用奇偶性與單調(diào)性的定義及其當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0，即可證明．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于a∈R，下列等式中恒成立的是（ ）
A.cos（﹣α）=﹣cosα
B.sin（﹣α）=﹣sinα
C.sin（90°﹣α）=sinα
D.cos（90°﹣α）=cosα

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中．若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有種．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f（x），則函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a的交點(diǎn)（ ）
A.有1個
B.有2個
C.有無數(shù)個
D.至多有一個

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，則A∩B=（ ）
A.{﹣2}
B.{1}
C.{﹣2，1}
D.{﹣2，0，1}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在R上不間斷，由表知函數(shù)y=f（x）﹣g（x）在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)的是（ ）

x

﹣1

0

1

2

3

f（x）

﹣0.677

3.011

5.432

5.980

7.651

g（x）

﹣0.530

3.451

4.890

5.241

6.892


A.（﹣1，0）
B.（0，1）
C.（1，2）
D.（2，3）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一排9個座位坐了3個三口之家．若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（ ）
A.3×3!
B.3×（3!）3
C.（3!）4
D.9!

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（ ）
A.a＞ab＞ab2
B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2
D.ab＞ab2＞a

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A.“至少有一個紅球”與“都是黑球”
B.“至少有一個黑球”與“都是黑球”
C.“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”
D.“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案