Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f′（x）＞

1

3

，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式
f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：確定函數(shù)g（x）=f（x）-

1

3

x在R上是增函數(shù)，不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

，轉(zhuǎn)化為g（x³）＜g（1），即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵f′（x）＞

1

3

，
∴[f（x）-

1

3

x]′＞0，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-

1

3

x在R上是增函數(shù)，
∴g（x³）=f（x³）-

1

3

x³；
∵不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

，
∴g（x³）＜

2

3

，
∵f（1）=1，g（1）=f（1）-

1

3

=

2

3

，
∴g（x³）＜g（1），
∴x³＜1，
∴x＜1，
∴則不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

的解集為（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．