Question

1．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，求證：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 利用|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，化簡(jiǎn)可得（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）-（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}$）=0，利用向量的運(yùn)算，即可得出結(jié)論

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，
∴（|$\overrightarrow{OA}$|²-|$\overrightarrow{OB}$|²）-（|$\overrightarrow{CA}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²）=0
（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）-（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}$）=0，
∴$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）-\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}）$=0，
所以$\overrightarrow{AB}（-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}）$=0
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OC}$=0
所以$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{OC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．