Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx，α∈R，又f（α）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$．若|α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$，則正數(shù)ω的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而f（α），f（β）求得2ωα-$\frac{2π}{3}$和2ωβ-$\frac{2π}{3}$，進而二者相減求得2ωα-2ωβ 的表達式，進而根據(jù)|α-β|的最小值為$\frac{3}{4}$代入，根據(jù)ω為正整數(shù)，則可取k₁=k₂=1，求得答案．

解答 解：f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=cos（2ωx-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
f（α）=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（2ωα-$\frac{2π}{3}$）=-1；
∴2ωα-$\frac{2π}{3}$=（2k₁+1）π；
∵f（β）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（2ωβ-$\frac{2π}{3}$）=0；
∴2ωβ-$\frac{2π}{3}$=k₂π+$\frac{π}{2}$；
∴2ωα-2ωβ=（2k₁-k₂）π+$\frac{π}{2}$；
∴2ω•|α-β|=（2k₁-k₂） π+$\frac{π}{2}$；
∵|α-β|≥$\frac{3π}{4}$，則：2ω≤$\frac{4}{3π}$[（2k₁-k₂）π+$\frac{π}{2}$]=$\frac{1}{3}$[4（2k₁-k₂）+2]，
ω≤$\frac{1}{3}$[2（2k₁-k₂）+1]，
取k₁=k₂=1，
則可知ω=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了兩角和公式和二倍角公式的化簡求值．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力，屬于基本知識的考查．