Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
（I）證明數(shù)列{a_n+a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）求a₁+a₂+…a_n（n∈N^*）

Answer 1

分析：（I）利用a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+3a_n-1，推出

an+1+an

an+an-1

是常數(shù)，即可證明數(shù)列{a_n+a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）利用（I）推出a_n+1+a_n=3ⁿ，然后說明數(shù)列{a_n+1-3a_n}是以-1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，求出a_n+1-3a_n=（-1）ⁿ，解出a_n，然后求a₁+a₂+…a_n（n∈N^*）

解答：解：（I）證明：因?yàn)閍_n+1=2a_n+3a_n-1，所以a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），
所以

an+1+an

an+an-1

=3是常數(shù)，
所以數(shù)列{a_n+a_n+1}是以a₁+a₂=3為首項(xiàng)，等比為3的等比數(shù)列；
（II）由（Ⅰ）得a_n+1+a_n=3ⁿ，…①，
又a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
得a_n+1-3a_n=-（a_n-3a_n-1），（n≥2且n∈N^*）．
即

an+1-3an

an-3an-1

=-1，常數(shù)，
所以數(shù)列{a_n+1-3a_n}是以-1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，
a_n+1-3a_n=（-1）ⁿ，…②，
解①②得，a_n=

1

4

•3n-

1

4

•(-1)n，
∴a₁+a₂+…a_n=

1

4

（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-

1

4

[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]
=

1

8

[3n+1+(-1)n+1-2]   （n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判斷，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．