Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在偶函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿ+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)點與函數(shù)之間的關(guān)系求出b，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用分組求和法分別等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+bx是偶函數(shù)，
∴b=0，
∴f（x）=x²．
∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²的圖象上，
∴S_n=n²．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1也符合上式，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵b_n=2ⁿ+a_n=2ⁿ+2n-1．
∴T_n=

2(1-2n)

1-2

+

(1+2n-1)

2

×n=2ⁿ⁺¹+n²-2．

點評：本小題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列前n項和求法中的分組求和、公式求和法，考查了學(xué)生運算求解能力和函數(shù)與方程思想、分類與整合思想等．