Question

已知反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線．
（1）求雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l過點(diǎn)P（0，4），且與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)Q．
①求A、B中點(diǎn)M的軌跡方程；
②當(dāng)

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，且λ₁+λ₂=-8時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線，即可求雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先把直線l的方程以及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來，利用

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，找到λ₁和λ₂與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l的斜率的關(guān)系，再利用A、B兩點(diǎn)是直線和雙曲線的交點(diǎn)以及λ₁+λ₂=-8，求出直線l的斜率k進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題意得：頂點(diǎn)：（-1，-1）、（1，1），---------------------------------（2分）
焦點(diǎn)：（-

2

，-

2

）、（

2

，

2

）為焦點(diǎn)．--------------------------------------（4分）
（2）①直線l斜率不存在或?yàn)?時(shí)顯然不滿足條件；
設(shè)直線l：y=kx+4（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），---------------------（1分）
將y=kx+4代入y=

1

x

，得kx²+4x-1=0，--------------------------------------（1分）
△=16+4k＞0，∴k＞-4，--------------------------------------（1分）
x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

1

k

，-------------------------------（1分）
∴x=-

2

k

，y=2，--------------------------------------（1分）
∵k＞-4，∴x∈（-∞，0）∪（

1

2

，+∞），--------------------------------------（2分）
∴A、B中點(diǎn)M的軌跡方程為y=2（x∈（-∞，0）∪（

1

2

，+∞），------------（1分）
②直線l斜率不存在或?yàn)?時(shí)顯然不滿足條件；-------------------------------------（1分）
設(shè)直線l：y=kx+4（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則Q（-

4

k

，0）-----------------------（1分）
將y=kx+4代入y=

1

x

，得kx²+4x-1=0，--------------------------------------（1分）
∵

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，
∴（-

4

k

，-4）=λ₁（x₁+

4

k

，y₁）=λ₂（x₂+

4

k

，y₂），-----------（1分）
∴λ₁+λ₂=

-4

kx1+4

+

-4

kx2+4

=-8，即2k²x₁x₂+7k（x₁+x₂）+24=0，
解得k=-2，--------------------------------------（2分）
∴Q（2，0）．--------------------------------------（1分）

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及根據(jù)直線與雙曲線位置求直線方程，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．