Question

已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，點(diǎn)F₂(c,0)到直線l：x＝的距離為3.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，求出該圓的方程．

Answer 1

解析：　(1)由題知2|F₁F₂|＝|MF₁|＋|MF₂|，

即2×2c＝2a，得a＝2c.

又由－c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝.

∴橢圓E的方程為＝1.

(2)假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓滿足條件．

(ⅰ)若圓的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為y＝kx＋m，則，①

由消去y，整理得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4(m²－3)＝0，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，有

又∵∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即4(1＋k²)(m²－3)－8k²m²＋3m²＋4k²m²＝0，化簡(jiǎn)得m²＝(k²＋1)，②

由①②求得r²＝.

所求圓的方程為x²＋y²＝.

(ⅱ)若AB的斜率不存在，設(shè)A(x₁，y₁)，則B(x₁，－y₁)，∵x＝y，代入＝1，得x＝.此時(shí)仍有r²＝＝.

綜上，總存在以原點(diǎn)為圓心的圓x²＋y²＝滿足題設(shè)條件．