Question

已知函數(shù)f（x）=ax-ln（x+1）（a∈R），
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（友情提示：）
（Ⅱ）求證：當(dāng)n∈N^*時，；
（Ⅲ）當(dāng)a取什么值時，存在一次函數(shù)g（x）=kx+b，使得對任意x＞-1都有f（x）≥g（x）≥x-x²，并求出g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)f'（x）大于0時可求單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)數(shù)f'（x）小于0時可求單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以，當(dāng)x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即x＞ln（x+1），所以，分別代入相加即可證明；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=x-x²，因為f（0）=h（0）=0，所以要使f（x）≥g（x）≥h（x），則直線g（x）=kx+b必為f（x）和h（x）在點x=0處的公共切線，由h'（0）=（1-2x）|_x=0=1，得h（x）在點x=0處的切線方程為y=x，即g（x）=x，又由f'（0）=a-1=1，得a=2，再證明f（x）≥g（x）≥h（x）即可．
解答：解：（Ⅰ）…（2分）
①當(dāng)a＞0時，
②當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0
所以，當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為
當(dāng)≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞），無遞增區(qū)間   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，當(dāng)x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即x＞ln（x+1），
所以，…（7分）
所以，
即當(dāng)n∈N^*時，…（9分）
（Ⅲ）設(shè)h（x）=x-x²，因為f（0）=h（0）=0，所以要使f（x）≥g（x）≥h（x），
則直線g（x）=kx+b必為f（x）和h（x）在點x=0處的公共切線，
由h'（0）=（1-2x）|_x=0=1，得h（x）在點x=0處的切線方程為y=x，即g（x）=x
又由f'（0）=a-1=1，得a=2…（11分）
下面證明f（x）≥g（x）≥h（x）：
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x-ln（x+1），由（Ⅰ）知，F(xiàn)（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，
在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x），
又g（x）-h（x）=x²≥0，即g（x）≥h（x），
所以，當(dāng)a=2時，存在一次函數(shù)g（x）=x，使得對任意x＞-1都有f（x）≥g（x）≥x-x²…（14分）
點評：本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)增減區(qū)間的問題，考查不等式的證明，有一定的難度，技巧性較強．