Question

設(shè)兩函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）與g（x）=log_bx（b＞0且b≠1）的圖象分別是C₁和C₂．
（1）當(dāng)C₁與C₂關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，求a•b的值；
（2）當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，總有|f（x）|＞1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）y=log_ax的圖象與y=log_bx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，可得log_ax=-log_bx，即log_xa=-log_xb，即可得出結(jié)論；
（2）由在x∈[2，+∞）上總有|f（x）|＞1?|log_ax|＞1，要去掉絕對(duì)值，需要考慮a的范圍分類討論①若a＞1，x≥2時(shí)，log_ax＞0，即log_ax＞1恒成立，②若0＜a＜1，x≥2時(shí)log_ax＜0，．即log_ax＜-1恒成立，從而可求a的范圍

解答： 解：（1）∵y=log_ax的圖象與y=log_bx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴l(xiāng)og_ax=-log_bx，
∴l(xiāng)og_xa=-log_xb
∴a=

1

b

，
∴ab=1；
（2）：①若a＞1，x≥2時(shí)，log_ax＞0，
由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即log_ax＞1恒成立．
∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．
②若0＜a＜1，x≥2時(shí)log_ax＜0，
由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即log_ax＜-1恒成立，也即x＞

1

a

恒成立，
∴

1

a

＜2．∴

1

2

＜a＜1，
綜上，a的取值范圍為（

1

2

，1）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，考查對(duì)數(shù)的性質(zhì)，考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性解不等式，解題中要體會(huì)分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔試題