已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的導函數(shù)f'(x)=-2x+7,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值;
(II)令,其中n∈N*,求{nbn}的前n項和.
【答案】分析:(I)求出f(x)的導函數(shù)即可得到a與b的值,然后把Pn(n,Sn)代入到f(x)中得到Sn=-n2+7n,利用an=Sn-Sn-1得到通項公式,令an=-2n+8≥0得到n的范圍即可求出Sn的最大值;
(II)由題知,數(shù)列{bn}是首項為8,公比是的等比數(shù)列,表示出{nbn}的各項,利用錯位相減法求出{nbn}的前n項和即可.
解答:解:(I)∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f'(x)=2ax+b
由f'(x)=-2x+7得:a=-1,b=7,所以f(x)=-x2+7x
又因為點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,所以有Sn=-n2+7n
當n=1時,a1=S1=6
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n+8,∴an=-2n+8(n∈N*
令an=-2n+8≥0得n≤4,∴當n=3或n=4時,Sn取得最大值12
綜上,an=-2n+8(n∈N*),當n=3或n=4時,Sn取得最大值12

(II)由題意得
所以,即數(shù)列{bn}是首項為8,公比是的等比數(shù)列,
故{nbn}的前n項和Tn=1×23+2×22++n×2-n+4

所以①-②得:

點評:考查學生利用做差法求等差數(shù)列通項公式的能力,以及掌握用錯項相減的方法求數(shù)列前n項的和.考查學生求導數(shù)的能力,以及靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式來解決問題.
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