Question

已知函數(shù)f（x）=9^x-3^x+1+c（其中c是常數(shù)）．
（1）若當x∈[0，1]時，恒有f（x）＜0成立，求實數(shù)c的取值范圍；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令3^x=t把函數(shù)換元，化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，由最大值小于0得答案；
（2）由（1）中二次函數(shù)的最小值小于0求解c的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=（3^x）²-3×3^x+c，令3^x=t，當x∈[0，1]時，t∈[1，3]．
問題轉(zhuǎn)化為當t∈[1，3]時，g（t）=t²-3t+c＜0恒成立．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，即3²-3×3+c＜0，解得c＜0．
∴實數(shù)c的取值范圍是（-∞，0）；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0，則存在t∈[1，3]，使g（t）=t²-3t+c＜0．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值g(

3

2

)＜0，即(

3

2

)2-3×

3

2

+c＜0，解得c＜

9

4

．
∴實數(shù)c的取值范圍是(-∞，

9

4

)．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了換元法，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．