Question

如圖1，的直徑AB=4，點C、D為上兩點，且CAB=45°，DAB=60°，F(xiàn)為弧BC的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直，如圖2.

(I)求證：OF平面ACD；

(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；

(Ⅲ)在弧BD上是否存在點G，使得FG平面ACD?若存在，試指出點G的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）對于線面平行的判定關(guān)鍵是證明來得到。

（2）

(3) 在弧上存在點，使得//平面，且點為弧的中點

【解析】

試題分析：（方法一）：證明：（Ⅰ）如右圖，連接，

，. …1分 又為弧的中點，，.平面，平面，平面． …4分

解：（Ⅱ）過作于，連．

，平面⊥平面．

⊥平面．又平面， ， 平面，，則∠是二面角的平面角． ，， . 由⊥平面，平面，得為直角三角形，，==．   8分

（Ⅲ）取弧的中點，連結(jié)、，則

…平面，平面平面//平面.

因此，在弧上存在點，使得//平面，且點為弧的中點．…12分

（方法二）：證明：（Ⅰ）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點，建立空間直角坐標系

則．…… 1分，

點為弧的中點，點的坐標為，．

解：（Ⅱ），點的坐標，．

設(shè)二面角的大小為，為平面的一個法向量．

由 有 即

取，解得，． =．  5分

取平面的一個法向量=，    6分

．  8分

（Ⅲ）設(shè)在弧上存在點,

,由（Ⅱ）知平面的一個法向量為=．

= ①   9分

又因為   ②由①②兩式聯(lián)立解得，…11分，因為，所以,則為弧的中點，因此，在弧上存在點，使得//平面，且點為弧的中點． ………12分

考點：線面平行和二面角的平面角

點評：主要是考查了二面角的求解，以及線面平行 的判定定理的運用，屬于基礎(chǔ)題。