Question

【題目】各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足：Sn= an2+ an+ （n∈N*）
（1）求an
（2）設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Tn ， 證明：對一切正整數(shù)n，都有Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

當(dāng)n=1時(shí)， ，解得a1=1．

當(dāng)n≥2時(shí)， ；

∴an=Sn﹣Sn﹣1= + an﹣ an﹣12﹣ an﹣1．

整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

又∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣an﹣1=2，

故數(shù)列{an}為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）證明：可知Tn= =

∵ ，

∴

=

=1+ ﹣ ＜

【解析】（1）分別把n=1和n=n﹣1代入條件式計(jì)算a1和遞推公式，得出{an}為等差數(shù)列，從而得出通項(xiàng)公式；（2） = ＜ ，再使用列項(xiàng)求和得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．