在如圖所示的幾何體中,是邊長為的正三角形,,平面,平面平面,,且.

（1）證明：//平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求該幾何體的體積.

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：（1）取的中點，根據(jù)等腰三角形中線即為高線可得，又因為面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，已知平面，所以，根據(jù)線面平行的判定定理可得//平面。（2）因為,且，斜邊中線，又因為，可證得是平行四邊形,可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，即平面，從而可得，又因為即可證得平面，從而證得平面平面。（3）根據(jù)前兩問的條件可證得平面，從而可將此幾何體分割為以四邊形為底面的兩個四棱錐，然后再求其體積。
試題解析：證明:
(1) 取的中點,連接、,

由已知,可得：，
又因為平面⊥平面,平面平面，
所以平面，
因為平面, 所以， 
又因為平面,平面，
所以平面.                                      4分
(2)由(1)知,又, ,
所以四邊形是平行四邊形,則有， 
由（1）得,又,
平面, 所以平面， 
又

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．

（1）求證：AC⊥DE；
（2）求四棱錐P－ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面, 為的中點,.

(1)求證：平面；
(2)若，求三棱錐的體積.

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如圖所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,過點D作DE⊥AC于E,交直線AB于F.現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小為60°.過P作PH⊥EF于H.

(1)求證:PH⊥平面ABC;
(2)若a+b=2,求四面體PABC體積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點C、D在直徑AB的兩側(cè)，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直(如圖乙)，F為BC的中點，E為AO的中點．根據(jù)圖乙解答下列各題：
 
(1)求三棱錐C－BOD的體積；
(2)求證：CB⊥DE；
(3)在上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側(cè)棱SA底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1， 點E在SD上，且

（1）證明：平面；
（2）求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，E為PD上一點，AD＝2AB＝2AP＝2，PE＝2DE.

(1)若F為PE的中點，求證：BF∥平面ACE；
(2)求三棱錐P－ACE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三角形中，，是邊長為的正方形，平面⊥底面，若、分別是、的中點．

（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，底面邊長為a，高為h的正三棱柱ABC-A1B1C1，其中D是AB的中點，E是BC的三等分點．求幾何體BDEA1B1C1的體積．

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