【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD= ,且點M和N分別為B1C和D1D的中點.
(I)求證:MN∥平面ABCD;
(II)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值.
【答案】證明:(1)如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,依題意A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,﹣2,0),
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,﹣2,2),
又∵M,N分別為B1C和D1D的中點,∴M(1, ,1),N(1,﹣2,1).
由題意得 =(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量,
=(0,﹣ ,0),
∵ =0,又∵直線MN平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(II) =(1,﹣2,2), ,設(shè) 為平面ACD1的法向量,
則 ,不妨設(shè)z=1,得 =(0,1,1),
設(shè) 為平面ACB1的一個法向量, =(0,1,2),
則 ,不妨設(shè)z=1,得 =(0,﹣2,1),
∴cos< >= =﹣ ,于是sin< >= = ,
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值為 .
【解析】(Ⅰ)以A為原點建立空間直角坐標系,利用向量法能證明MN∥平面ABCD.(Ⅱ)求出兩個平面的法向量,可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a1=2,且a2+1,a4+1,a8+1成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ,求適合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整數(shù)n的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于不等式,則對區(qū)間上的任意x都成立的實數(shù)t的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出x2﹣3x+2在區(qū)間[0,2]上的最小值和最大值,把問題轉(zhuǎn)化關(guān)于t的不等式組得答案.
∵x2﹣3x+2=,
∴當(dāng)x∈[0,2]時,,(x2﹣3x+2)max=2.
∴.
∴對于不等式(2t﹣t2)≤x2﹣3x+2≤3﹣t2,對區(qū)間[0,2]上任意x都成立的實數(shù)t的取值范圍是[﹣1,1﹣].
故答案為:[﹣1,1﹣].
【點睛】
本題考查函數(shù)恒成立問題,考查了不等式的解法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是基礎(chǔ)題.二次不等式分含參二次不等式和不含參二次不等式;對于含參的二次不等式問題,先判斷二次項系數(shù)是否含參,接著討論參數(shù)等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能夠因式分解則進行分解,再比較兩根大小,結(jié)合圖像得到不等式的解集.
【題型】填空題
【結(jié)束】
16
【題目】等差數(shù)列{an}的公差d≠0滿足成等比數(shù)列,若=1,Sn是{}的前n項和,則的最小值為________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,
(1)求的通項公式;
(2)設(shè)是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到:,解得二次方程可得到或(舍去),進而得到數(shù)列的通項;(2)已知數(shù)列的類型是等差數(shù)列與等比數(shù)列求和的問題,根據(jù)等差等比數(shù)列求和公式得到結(jié)果即可.
解:(1)設(shè)為等比數(shù)列的公比,則由,得:
即,解得:或(舍去)
所以的通項公式為
(2) 由 等 差 數(shù) 列 的 通 項 公 式 得 到:
由 等 差 數(shù) 列求 和 公 式 和 等 比 數(shù) 列 前 n 項 和 公 式 得 到
【點睛】
這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法;數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等。
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】設(shè)a≠b,解關(guān)于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),將曲線C1上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標伸長為原來的倍,得到曲線C2.以平面直角坐標系xOy的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲線C2和直線l的普通方程.
(2)P為曲線C2上任意一點,求點P到直線l的距離的最值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個:
恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù);至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù);
至多有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù);至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù).
在上述事件中,是對立事件的是
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為2:1,問該長方體的長、寬、高各為多少時,其體積最大?最大體積是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個口袋中裝有個紅球且和個白球,一次摸獎從中摸兩個球,兩個球顏色不同則為中獎.
(1)用表示一次摸獎中獎的概率;
(2)若,設(shè)三次摸獎(每次摸獎后球放回)恰好有次中獎,求的數(shù)學(xué)期望;
(3)設(shè)三次摸獎(每次摸獎后球放回)恰好有一次中獎的概率,當(dāng)取何值時, 最大?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com