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【題目】如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，，分別是的中點.

（1）證明：平面面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由中位線定理證得，由線面平行的判定定理說明平面，同理可證平面，再由面面平行的判定定理說明平面面；

（2）由三棱錐中，兩兩垂直，即可以為坐標原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系，分別表示點P,A,B,F的坐標，進而求得與面的法向量，設與面所成角為，由算得答案.

（1）證明：∵分別是的中點，

∴，又平面，平面

∴平面，

同理可得：平面，

又平面，平面，，

∴平面平面.

（2）以為坐標原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：

則，，，，

∴，，，

設平面的法向量，則，

∴，令可得.

∴.

設與面所成角為，則.

∴與面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設、是兩個正整數（允許與相等），、是兩個由若干個實數組成的集合，且，（允許），集合滿足：若、、、，且，則或且，或（且）.定義一個集合.試求出的最小可能值（表示集合的元素個數）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數為上的偶函數，為上的奇函數，且.

（1）求和的表達式；

（2）判斷并證明的單調性；

（3）若存在使得不等式成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在疫情這一特殊時期，教育行政部門部署了“停課不停學”的行動，全力幫助學生在線學習.復課后進行了摸底考試，某校數學教師為了調查高三學生這次摸底考試的數學成績與在線學習數學時長之間的相關關系，對在校高三學生隨機抽取45名進行調查.知道其中有25人每天在線學習數學的時長是不超過1小時的，得到了如下的等高條形圖：

（Ⅰ）是否有的把握認為“高三學生的這次摸底考試數學成績與其在線學習時長有關”；

（Ⅱ）將頻率視為概率，從全校高三學生這次數學成績超過120分的學生中隨機抽取10人，求抽取的10人中每天在線學習時長超過1小時的人數的數學期望和方差.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某一段海底光纜出現故障，需派人潛到海底進行維修，現在一共有甲、乙、丙三個人可以潛水維修，由于潛水時間有限，每次只能派出一個人，且每個人只派一次，如果前一個人在一定時間內能修好則維修結束，不能修好則換下一個人.已知甲、乙、丙在一定時間內能修好光纜的概率分別為，且各人能否修好相互獨立.

（1）若按照丙、乙、甲的順序派出維修，設所需派出人員的數目為X，求X的分布列和數學期望；

（2）假設三人被派出的不同順序是等可能出現的，現已知丙在乙的下一個被派出，求光纜被丙修好的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文數中任取兩個數，則兩個回文數的三位數字之和均大于3的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，則下列命題正確的是（ ）

A.當時，

B.函數有3個零點

C.的解集為

D.，都有

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某媒體對“男女延遲退休”這一公眾關注的問題進行了民意調查，下表是在某單位調查后得到的數據(人數)：

贊同

反對

合計

男

5

6

11

女

11

3

14

合計

16

9

25

（1）能否有90%以上的把握認為對這一問題的看法與性別有關?

（2）進一步調查：

①從贊同“男女延遲退休”的人中選出人進行陳述發(fā)言，求事件“男士和女士各至少有人發(fā)言”的概率；

②從反對“男女延遲退休”的人中選出人進行座談，設選出的人中女士人數為，求的分布列和數學期望.

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按元/度收費，超過400度的部分按1.0元/度收費．

（Ⅰ）求某戶居民用電費用（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數解析式；

（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占，求， 的值；

（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數據用該組區(qū)間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費用，求的分布列和數學期望．

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