Question

7．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì)，如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$）上是減函數(shù)，在（$\sqrt{a}$，+∞）上的增函數(shù)．
（1）試結合函數(shù)的性質(zhì)直接畫出函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$圖象的簡圖（不必列表描點）；
（2）如果函數(shù)y=x+$\frac{{2}^}{x}$（x＞0）在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）是增函數(shù)，求b的值；
（3）設常數(shù)c∈（1，4），求函數(shù)f（x）=x+$\frac{c}{x}$（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得y=x+$\frac{1}{x}$的單調(diào)性和特殊點，可作簡圖；
（2）由題意可得2^b=16，解方程可得；
（3）由單調(diào)性易得最小值，求出f（1）和f（2）作差，分類討論可得．

解答 解：（1）由題意可得y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
又函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)，故在（-1，0）上是減函數(shù)，在（-∞，-1）上是增函數(shù)，
且當x=1時y=2，當x=-1時，y=-2，可作簡圖如下：

（2）由題意可得2^b=16，解得b=4；
（3）由題意可得f（x）=x+$\frac{c}{x}$在（0，$\sqrt{c}$）上是減函數(shù)，在（$\sqrt{c}$，+∞）上是增函數(shù)，
∵c∈（1，4），∴$\sqrt{c}$∈（1，2），∴函數(shù)在（1，$\sqrt{c}$）上是減函數(shù)，在（$\sqrt{c}$，2）上是增函數(shù)，
∴當x=$\sqrt{c}$時，函數(shù)取最小值$\sqrt{c}$+$\frac{4}{\sqrt{c}}$，f（1）=c+1，f（2）=2+$\frac{c}{2}$，
當c+1-（2+$\frac{c}{2}$）=$\frac{c}{2}$-1＞0即2＜c＜4時，最大值為f（1）=c+1，
當1＜c≤2時，最大值為f（2）=2+$\frac{c}{2}$．

點評 本題考查“對勾函數(shù)”的單調(diào)性，數(shù)形結合并利用已知題目的結論是解決問題的關鍵，屬中檔題．