Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求證：是等差數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)，n∈N^*，試證明：對于任意的正整數(shù)m、n，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為，所以，n∈N^*；由此能夠證明是等差數(shù)列．求能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由，得=．由此能夠證明對于任意的正整數(shù)m、n，都有．
解答：解：（1）因為，
所以，n∈N^*；
故是等差數(shù)列．
由此可得，，
所以，n∈N^*．
（2）由，
則有
=．
∴當，
即n≤3時，b_n+1＞b_n；
∴當，
即n≥4時，b_n+1＜b_n．
由此可知，b₄是數(shù)列{b_n}中的最大項；
又因為b₁=0，
且當n≥2時，b_n＞0，
所以數(shù)列{b_n}中的最小項為b₁=0．
∴對于任意的正整數(shù)m、n，都有．
點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．