過點A（0，a）作直線交圓M：（x-2）2+y2=1于點B、C，
（理）在BC上取一點P，使P點滿足：
AB
=λ
AC
，
BP
=λ
PC
，(λ∈R)
（文）在線段BC取一點P，使點B、P、C的橫坐標的倒數(shù)成等差數(shù)列
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若（1）的軌跡交圓M于點R、S，求△MRS面積的最大值．
（1）（理）令P（x，y），因為
AB
=λ
AC
，
BP
=λ
PC
，(λ∈R)
所以xB=λxC，x-xB=λ（xC-x）
∴
x-xB
xC-x
=
xB
xC
，
∴x=
2xBxC
xB+xC
①
設過A所作的直線方程為y=kx+a，（顯然k存在）
又由
y=kx+a
(x-2)2+y2=1
得（1+k2）x2+（2ak-4）x+a2+3=0
∴xB+xC=
4-2ak
1+k2
，xBxC=
2a+3k
2-ak

代入①，得x=
a2+3
2-ak
，
∴y=kx+a=
2a+3k
2-ak

消去k，得所求軌跡為2x-ay-3=0，（在圓M內部）
（文）令P（x，y），因為點B、P、C的橫坐標的倒數(shù)成等差數(shù)列
所以  
2
x
=
1
xB
+
1
xc
?x=
2xBxc
xB+xc
（以下同理）
（2）上述軌跡過為定點（
3
2
，0）的直線在圓M內部分
，由
2x-ay-3=0
(x-2)2+y2=1
得（a2+4）y2-2ay-3=0
則|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=4
a2+3
(a2+4)2

∴S△MRS=
1
2
×
1
2
×4
a2+3
(a2+4)2
=
a2+3
(a2+4)2
=
1
(a2+3)+
1
(a2+3)
+2

令t=a2+3，則t≥3，而函數(shù)f(t)=t+
1
t
在t≥3時遞增，
∴S△MRS≤
1
3+
1
3
+2
=
3
4
．
∴S△MRS|max=
3
4
，此時t=3，a=0，
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•淮南二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=
1
2
，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年安徽省淮北市高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年安徽省淮南市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年安徽省淮北市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學期聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知直三棱柱中, , ， 是和的交點, 若.

（1）求的長；  （2）求點到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

 

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