Question

設(shè)函數(shù)y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N⁺）的圖象在x軸上截得的線段長d_n，記數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若存在正整數(shù)n，使得log₂(Sn+1)m-n2≥18成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由函數(shù)y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N⁺）的圖象在x軸上截得的線段長d_n，可得d_n=2^n-1，進(jìn)而S_n=2ⁿ-1，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得若存在正整數(shù)n，使得log₂(Sn+1)m-n2≥18成立，則m≥

18

n

+n2，求出

18

n

+n2的最小值，可得答案．

解答： 解：y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0得：
x=2ⁿ，或x=2^n-1，
故d_n=2^n-1，
則數(shù)列{d_n}為以1為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列，
則S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
若存在正整數(shù)n，使得log₂(Sn+1)m-n2≥18成立，
即存在正整數(shù)n，使得log₂(2n)m-n2≥18成立，
即存在正整數(shù)n，使得n（m-n²）≥18成立，
即存在正整數(shù)n，使得m≥

18

n

+n2，
僅y=

18

n

+n2，則y′=-

18

n2

+2n =

2(n3-9)

n2

，
由n≤2時(shí)，y′＜0，n≥3時(shí)，y′＞0時(shí)，
又由n=2時(shí)，

18

n

+n2=13，n=3時(shí)，

18

n

+n2=5，
故

18

n

+n2的最小值為13，
若存在正整數(shù)n，使得m≥

18

n

+n2，
則實(shí)數(shù)m的最小值為13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列，函數(shù)，不等式，對(duì)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．