Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2^x-2，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-1，9]內(nèi)恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  9

  ）∪（

  7

  ，+∞）
• B、（

  1

  9

  ，1）∪（1，

  3

  ）
• C、（

  1

  9

  ，

  1

  5

  ）∪（

  3

  ，

  7

  ）
• D、（

  1

  7

  ，

  1

  3

  ）∪（

  5

  ，3）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：

分析：由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），推出函數(shù)f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，結(jié)合題意畫出在區(qū)間（-1，9）內(nèi)函數(shù)f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，注意對a討論，分a＞1，0＜a＜1，結(jié)合圖象即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x）
∴f（x+4）=f（x），
則函數(shù)f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2^x-2，
f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=f（-x）=2^-x-1，
結(jié)合題意畫出函數(shù)f（x）在x∈（-1，9]上的圖象
與函數(shù)y=log_a（x+1）的圖象，
①若0＜a＜1，要使f（x）與y=log_a（x+1）的圖象，恰有3個(gè)交點(diǎn)，
則

f(4)＜g(4) f(8)＞g(8)

，
即

-1＜loga5 -1＞loga9

，
解得

a＜ 1 5 a＞ 1 9

即a∈（

1

9

，

1

5

），
②若a＞1，要使f（x）與y=log_a（x+1）的圖象，恰有3個(gè)交點(diǎn)，
則

f(2)＞g(2) f(6)＜g(6)

，
即

2＞loga3 2＜loga7

解得

a＞ 3 a＜ 7

，
即a∈（

3

，

7

），
綜上a的取值范圍是（

1

9

，

1

5

）∪（

3

，

7

）
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性及其運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及對底數(shù)a的討論．