Question

【題目】設a、b、c成等比數列，非零實數x，y分別是a與b，b與c的等差中項．
（1）已知 ①a=1、b=2、c=4，試計算 的值；
②a=﹣1、b= 、c=﹣ ，試計算 的值
（2）試推測 與2的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：①a、b、c成等比數列，

非零實數x，y分別是a與b，b與c的等差中項．

可得b2=ac，x= ，y= ，

由a=1、b=2、c=4，

可得x= ，y=3，

即有 = + =2；

②由a=﹣1、b= 、c=﹣ ，

可得x=- ，y= ，

∴ =3﹣1=2

（2）解：由（1）推測 =2．

證明：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac，

∵實數x，y分別是a與b，b與c的等差中項．

∴x= ，y=

∴ =

=

=

【解析】（1）由等差數列和等比數列的中項的性質，可得b2=ac，x= ，y= ，代入a，b，c可得x，y，計算即可得到①②的值；（2）推測 =2．運用等差數列和等比數列的中項的性質，通分化簡，運用因式分解，注意運用ac=b2 ， 即可得證．
【考點精析】通過靈活運用基本不等式和等差數列的通項公式（及其變式），掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：；通項公式：或即可以解答此題．