Question

【題目】若函數(shù)g（x）滿足g（g（x））=n（n∈N）有n+3個(gè)解，則稱函數(shù)g（x）為“復(fù)合n+3解”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）= （其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…，k∈R），且函數(shù)f（x）為“復(fù)合5解”函數(shù)，則k的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（﹣e，e）
C.（﹣1，1）
D.（0，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數(shù)f（x）為“復(fù)合5解“， ∴f（f（x））=2，有5個(gè)解，
設(shè)t=f（x），
∴f（t）=2，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）= ，
∴f（x）= ，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）min=f（1）=1，
∴t≥1，
∴f（t）=2在[1，+∞）有2個(gè)解，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=kx+3，函數(shù)f（x）恒過點(diǎn)（0，3），
當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）≥f（0）=3，
∴t≥3
∵f（3）= ＞2，
∴f（t）=2在[3，+∞）上無解，
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）≤f（0）=3，
∴f（t）=2，在（0，3]上有2個(gè)解，在（∞，0]上有1個(gè)解，
綜上所述f（f（x））=2在k＞0時(shí)，有5個(gè)解，
故選：D