Question

（本小題滿分14分）如圖5，是△的重心，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線．（1）設(shè)，將用、、表示；
（2）設(shè)，，證明：是定值；
（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

：（1）
．…2分
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴   ②…4分
而、不共線，∴由①、②，得…6分
解之，得，∴（定值）．…………………8分
（3）．……………………10分
由點(diǎn)、的定義知，，
且時(shí)，；時(shí)，．此時(shí)，均有．
時(shí)，．此時(shí)，均有．
以下證明：．
（法一）由（2）知，
∵，∴．…………………………12分
∵，∴．
∴的取值范圍．………………………………14分
（法二），
令，則，其中．
利用導(dǎo)數(shù)，容易得到，關(guān)于的函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，在閉區(qū)間上單調(diào)遞增．………………………………12分
∴時(shí)，．
而或時(shí)，均有．
∴的取值范圍．…………………………14分
注：也可以利用“幾何平均值不小于調(diào)和平均值”來求最小值．