Question

如圖，AB為圓O的切線，A為切點(diǎn)，過(guò)線段AB上一點(diǎn)C作圓O的割線，CED（E在C、D之間），若∠ABE=∠BDE，求證：C為線段AB的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：由已知條件推導(dǎo)出△BCE∽△DCB，從而B(niǎo)C²=EC•DC，由切割線定理得CA²=CE•CD，由此能證明C為線段AB的中點(diǎn)．

解答： 證明：在△BCE和△DCB中，
∵∠BCE=∠DCB，∠CBE=∠CDB，
∴△BCE∽△DCB，
∴

BC

DC

=

EC

BC

，∴BC²=EC•DC，
∵直線AB，直線CDE分別是⊙O的切線和割線，
∴由切割線定理得CA²=CE•CD，
∴BC²=CA²，
∴BC=CA，即C為線段AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)是線段中點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意三角形相似和切割線定理的合理運(yùn)用．