Question

關(guān)于圓M：（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1（θ∈R），有下列命題：
①圓M過定點(diǎn)（0，0）；
②當(dāng)θ=0時(shí)，圓M與y軸相切；
③點(diǎn)A（-2，1）到圓M上點(diǎn)的距離的最大值為2+

5

；
④存在θ，使圓M與x軸，y軸都相切．
其中真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：圓M的圓心（cosθ，sinθ），半徑為r=1，
①將x=0，y=0代入圓M的方程：（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=cos²θ+sin²θ=1，可判斷①正確；
②當(dāng)θ=0時(shí)，cos0=1，sin0=0，圓M的方程變?yōu)椋海▁-1）²+y²=1，與y軸相切，可判斷②正確；
③點(diǎn)A（-2，1）到圓M的圓心（cosθ，sinθ）距離
d=

(cosθ+2)2+(sinθ-1)2

=

6+4cosθ-2sinθ

=

6+ 42+(-2)2 sin(θ+α)

≤

6+2 5

=

5

+1，
可求得點(diǎn)A（-2，1）到圓M上點(diǎn)的距離的最大值為（1+

5

++1=2+

5

，判斷③正確；
④假設(shè)存在θ，使圓M與x軸，y軸都相切，|cosθ|=|sinθ|=1，導(dǎo)出矛盾，可判斷④不正確；

解答： 解：圓M的圓心（cosθ，sinθ），半徑為r=1；
對(duì)于①：將x=0，y=0代入圓M的方程：（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=cos²θ+sin²θ=1，即圓M過定點(diǎn)（0，0），①正確；
對(duì)于②：當(dāng)θ=0時(shí)，cos0=1，sin0=0，圓M的方程變?yōu)椋海海▁-1）²+y²=1，顯然與y軸相切，②正確；
對(duì)于③：點(diǎn)A（-2，1）到圓M的圓心（cosθ，sinθ）距離
d=

(cosθ+2)2+(sinθ-1)2

=

6+4cosθ-2sinθ

=

6+ 42+(-2)2 sin(θ+α)

≤

6+2 5

=

5

+1，
所以，點(diǎn)A（-2，1）到圓M上點(diǎn)的距離的最大值為（1+

5

++1=2+

5

，③正確；
對(duì)于④：假設(shè)存在θ，使圓M與x軸，y軸都相切，則|cosθ|=|sinθ|=1，這不可能，④不正確；
綜上所述，①②③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與圓的位置關(guān)系、圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，屬于中檔題．