Question

【題目】已知， ．

（1）求 的值；

（2）試猜想的表達(dá)式（用一個(gè)組合數(shù)表示），并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）1，3，10；（2）=

【解析】試題分析：（1）代入，根據(jù)組合數(shù)依次求出 的值；（2）根據(jù)數(shù)值猜想=，利用倒序相加法可求出的表達(dá)式

試題解析：解：（1）由條件， ①，

在①中令，得．

在①中令，得，得．

在①中令，得，得．

（2）猜想=（或=）．

欲證猜想成立，只要證等式成立．

方法一：當(dāng)時(shí)，等式顯然成立，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

故．

故只需證明．

即證．

而，故即證 ②．

由等式可得，左邊的系數(shù)為．

而右邊 ，

所以的系數(shù)為．

由恒成立可得②成立.

綜上， 成立.

方法二：構(gòu)造一個(gè)組合模型，一個(gè)袋中裝有個(gè)小球，其中n個(gè)是編號(hào)為1，2，…，n的白球，其余n－1個(gè)是編號(hào)為1，2，…，n－1的黑球，現(xiàn)從袋中任意摸出n個(gè)小球，一方面，由分步計(jì)數(shù)原理其中含有個(gè)黑球（個(gè)白球）的n個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為， ，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理有從袋中任意摸出n個(gè)小球的組合的總數(shù)為．

另一方面，從袋中個(gè)小球中任意摸出n個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為．

故，即②成立. 余下同方法一.

方法三：由二項(xiàng)式定理，得 ③．

兩邊求導(dǎo)，得 ④．

③×④，

得 ⑤．

左邊的系數(shù)為．

右邊的系數(shù)為

．

由⑤恒成立，可得．

故成立.