Question

【題目】已知函數(shù)g（x）= +lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣ ﹣lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一個x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意， ≥0在[1，+∞）上恒成立，即 ．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθx﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ1﹣1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結(jié)合θ∈（0，π），得 ．
2）由（1），得f（x）﹣g（x）= ．
∴ ．
∵f（x）﹣g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等價于m（1+x2）≥2x，即 ，
而 ，（ ）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等價于m（1+x2）≤2x，即
在[1，+∞）恒成立，而 ∈（0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
3）構(gòu)造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x）， ．
當m≤0時，x∈[1，e]， ， ，
所以在[1，e]上不存在一個x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．
當m＞0時， ．
因為x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增， ，只要 ，
解得 ．
故m的取值范圍是
【解析】（1）由題意可知 ．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，結(jié)合θ∈（0，π），可以得到θ的值．（2）由題設條件知 ．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知 ，由此可知m的取值范圍．（3）構(gòu)造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x）， ．由此入手可以得到m的取值范圍是 ．
【考點精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．