Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且AD=

2

PA=

2

PD．
（Ⅰ）求證：PA⊥CD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得推導(dǎo)出CD⊥平面PAD，由此能證明PA⊥CD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出CD⊥平面PAD，CD=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，
∴PA⊥CD…（6分）
（Ⅱ）∵PA=PD=

2

2

AD=

2

，
∴PA²+PD²=AD²，∴PA⊥PD，S△PAD=

1

2

(

2

)2=1，
又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，
∴VP-ADC=VC-PAD=

1

3

×1×2=

2

3

，
∴VP-ABCD=2VP-ADC=2×

2

3

=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．