Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+

a

2

x²-2x，g（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+（a+2）x+

a+1

x

-lnx，（a∈R）
（Ⅰ）當a=3時，x∈[

3

2

，2]，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）當a≥-1時，討論函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若過點（0，-

1

3

）可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=3時，x∈[

3

2

，2]，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）當a≥-1時，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可得出函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）先求出切線方程，點（0，-

1

3

）代入，化簡可得

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0．過點（0，-

1

3

）可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，等價于

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0有三個不同的實數(shù)解，g（t）=

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

，則函數(shù)的極大值與極小值異號，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=3時，f′（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
∴x∈[

3

2

，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（2）=-

2

3

；
（Ⅱ）F（x）=f（x）+g（x）=ax+

a+1

x

-lnx，F(xiàn)′（x）=

ax2-x-(a+1)

x2

．
a=0，F(xiàn)′（x）=-

x+1

x2

，∵x＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
a＞0，F(xiàn)′（x）=

(x+1)(ax-a-1)

x2

＞0，x＞

a+1

a

，∴函數(shù)在（0，

a+1

a

）上單調(diào)遞減；在（

a+1

a

，+∞）上單調(diào)
遞增；
-1≤a＜0，F(xiàn)′（x）=

(x+1)(ax-a-1)

x2

＜0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）設(shè)切點為P（t，-

1

3

t³+

a

2

t²-2t），則切線斜率為k=f′（t）=-t²+at-2，
∴切線方程為y+

1

3

t³-

a

2

t²+2t=（-t²+at-2）（x-t），
點（0，-

1

3

）代入，化簡可得

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0．
∵過點（0，-

1

3

）可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，
∴

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

=0有三個不同的實數(shù)解．
令g（t）=

2

3

t³-

a

2

t²+

1

3

，則函數(shù)的極大值與極小值異號，
由g′（t）=2t²-at=0，可得t=0或t=

a

2

，
∴

1

3

（

2

3

•

a3

8

-

a

2

•

a2

4

+

1

3

）＜0，
∴a＞2．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，有難度．