Question

定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且當(dāng)2≤x≤6時(shí)，f(x)=(

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2

)|x-m|+n
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（Ⅱ）若f（4）=31，求m，n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)周期的定義即可求函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
∴f（x）=f（4-x）=f（x-4），
即f（4+x）=f（x），
即4是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
（Ⅱ）∵函數(shù)的周期是4，
∴f（2）=f（6），
即(

1

2

)|2-m|+n=(

1

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)|6-m|+n，
∴|2-m|=|6-m|，解得m=4，
又f（4）=31，
∴f（4）=(

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2

)|4-4|+n=1+n=31，
解得n=30．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算以及函數(shù)周期性的判斷，要求熟練掌握函數(shù)周期性和奇偶性的應(yīng)用．