Question

如圖，以x軸負(fù)半軸為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

5

，

4

5

）．
（1）求

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求sin（α+

β

2

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，先利用倍角公式將sin2α，cos2α化為單角的三角函數(shù)，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將tanα用sinα，cosα表示，再根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
對(duì)第（2）問(wèn)，由

OP

•

OQ

=0知，∠POQ=90°，從而找到α與β的聯(lián)系，再利用誘導(dǎo)公式及半角公式，求得sin

β

2

和cos

β

2

的值，最后由兩角和的正弦公式求得sin（α+

β

2

）的值．

解答： 解：（1）由三角函數(shù)定義得 cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
∴原式=

2sinαcosα+2cos2α

1+ sinα cosα

=

2cosα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2cos2α
=2×(-

3

5

)2=

18

25

，
即

sin2α+cos2α+1

1+tanα

=

18

25

．
（2）因?yàn)槿?span id="vtsxo4w" class="MathJye">

OP

•

OQ

=0且0＜β＜α＜π，所以α-β=

π

2

，即β=α-

π

2

，
所以cosβ=cos(α-

π

2

)=sinα=

4

5

．                
因?yàn)?＜β＜π，所以0＜

β

2

＜

π

2

，
從而sin

β

2

=

1-cosβ 2

=

10

10

，cos

β

2

=

1+cosβ 2

=

3 10

10

，
所以sin(α+

β

2

)=sinαcos

β

2

+cosαsin

β

2

=

4

5

×

3 10

10

+(-

3

5

)×

10

10

=

9 10

50

，
即sin（α+

β

2

）=

9 10

50

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了兩向量垂直的充要條件，三角函數(shù)的定義及基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角和的正弦公式，半角公式等，記住基本的三角恒等變形式，是使問(wèn)題順利解答的先決條件．
2．在進(jìn)行三角函數(shù)的求值、計(jì)算時(shí)，除了記住公式外，還要注意以下兩點(diǎn)：
（1）一般遵循“先化簡(jiǎn)，后求值”的原則；
（2）在處理三角函數(shù)的開(kāi)方計(jì)算，或給定未知角求函數(shù)值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮角的范圍或角所在象限，因?yàn)檫@決定了函數(shù)值的符號(hào)．