Question

在直角梯形CDEF中，DC⊥CF，DC∥EF，CD=CF=2EF=2．將它繞CD旋轉(zhuǎn)得到CDBA，使得平面CDBA⊥平面CDEF．
（1）若點(diǎn)M是ED的中點(diǎn)，證明：BM∥平面ACE；
（2）求AE與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）設(shè)CE的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABMN是平行四邊形，由此能證明BM∥平面ACE．
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與平面BED所成角的正弦值．

解答： （1）證明：設(shè)CE的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，
∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴MN∥CD，且MN=

1

2

CD，
又∵CD∥EF，∴CD∥AB，
∴NM∥AB，NM=AB，
∴四邊形ABMN是平行四邊形，
∴BM∥AN，∵AN?平面ACE，BM不包含于平面ACE，
∴BM∥平面ACE．
（Ⅱ）∵面CDBA⊥面CDEF，且AC⊥CD，
∴AC⊥面CDEF，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，2），E（2，1，0），D（0，2，0），B（0，1，2），
∴

AE

=（2，1，-2），

ED

=（-2，1，0），

DB

=（0，-1，2），
設(shè)平面BDE的法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），
則

n • ED =-2x0+y0=0 n • DB =-y0+2x0=0

，解得

x0= y0 2 z0= y0 2

，∴

n

=(1，2，1)，
∴cos＜

AE

，

n

＞=

2+2-2

9 • 6

=

6

9

．
∴AE與平面BED所成角的正弦值為

6

9

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．