Question

16．已知函數f（x）=2x²e^x與g（x）=3xe^x+a的圖象有且只有兩個公共點，則實數a的取值范圍是a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．

Answer 1

分析 令a=h（x）=2x²e^x-3xe^x，求導h′（x）=e^x（2x+3）（x-1），從而確定函數的單調性及極值，從而結合圖象解得．

解答 解：由題意得，2x²e^x=3xe^x+a，
∴a=h（x）=2x²e^x-3xe^x，
h′（x）=4xe^x+2x²e^x-3e^x-3xe^x
=e^x（2x²+x-3）
=e^x（2x+3）（x-1），
∴h（x）在（-∞，-$\frac{3}{2}$）上是增函數，在（-$\frac{3}{2}$，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
且h（1）=-e，h（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$，且$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=0，
故作h（x）=2x²e^x-3xe^x的圖象如下，

結合圖象可知，實數a的取值范圍是a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．
故答案為：a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．

點評 本題考查了導數的綜合應用及數形結合的思想應用．