Question

已知函數(shù)，其中常數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱 為與的“和諧函數(shù)”．設(shè)，求證：當時，在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個．

Answer 1

（1）,的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是    
,單調(diào)遞增區(qū)間是  ,,單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是  
（2）作差構(gòu)造新函數(shù)證明.

試題分析：（1） ，常數(shù)）
令，則，                 
①當時，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是           
②當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是         
③當時，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是        
（2）令，

令，則，           
因為，所以，且
從而在區(qū)間上，，即在上單調(diào)遞減       
所以               
又，所以，即       
設(shè)（，則
所以在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個   
點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解，考查了利用已學(xué)知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．