Question

已知（1-3x）ⁿ展開(kāi)式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)展開(kāi)式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，利用二項(xiàng)式系數(shù)為C_n^r，列出方程求出n值，由于n為奇數(shù)，故可知展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，設(shè)第r+1項(xiàng)與第r項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值分別為t_r+1，t_r，利用展開(kāi)式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)求出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答： 解：由題意，∵末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
（1）∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第8、9項(xiàng)，T₈=T₉=C₁₅⁷3⁷x⁷和T₉=C₁₅⁸3⁸x⁸
（2）T_r+1=C₁₅^r（-3x）^r=C₁₅^r（-3）^rx^r
設(shè)第r+1項(xiàng)與第r項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當(dāng)r取小于12的自然數(shù)時(shí)，都有t_r＜t_r+1
當(dāng)r=12時(shí)，t_r+1=t_r
∵第12項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第13項(xiàng)系數(shù)為正，
∴展開(kāi)式中第13項(xiàng)的系數(shù)最大，系數(shù)最大的項(xiàng)T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²．

點(diǎn)評(píng)：本題以二項(xiàng)式為載體，考查考展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，考查二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法，利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)是求二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的關(guān)鍵．