Question

已知直線(xiàn)y=kx+1和雙曲線(xiàn)3x²-y²=1相交于兩點(diǎn)A，B．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，解得即為k的范圍；
（2）假設(shè)存在，則設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，從而可求得

2

k2-3

+1=0，繼而可解得k的值．檢驗(yàn)成立．

解答： 解：（1）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，
得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．
經(jīng)檢驗(yàn)，k=±1滿(mǎn)足題目條件，
則存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，著重考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．