Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax
（1）若x=時，f（x）取得極值，求a的值；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)若時，f（x）取得極值得f′（）=0，解之即可；
（2）f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關(guān)系，解之即可；
解答：解：，
（1）因為 時，f（x）取得極值，所以 ，
即2+1+a=0，故a=-3．
（2）f（x）的定義域為（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
①當(dāng)△≤0，即 時，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，此時f（x）為增函數(shù)．
②當(dāng)△＞0，即 或 時，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0即可，
設(shè)h（x）=2x²+ax+1，
由 得a＞0，所以 ．
由①②可知，若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，a的取值范圍是 ．
點評：本題以函數(shù)為載體．主要考查了了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，屬于中檔題