Question

【題目】函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知當（其中是自然對數(shù)）時，在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時，對任意， ，有.

Answer 1

【答案】(1) 遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為．(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）易知的定義域為，再求導由 得： 或 ，討論兩根和定義域的關(guān)系，由導數(shù)的正負求單調(diào)區(qū)間即可；

（2）題中條件等價于當時， ，進而求即可；

（3）構(gòu)造輔助函數(shù)，并求導得，當時， ， 為減函數(shù)，有，變形即可證得.

試題解析：

（1）易知的定義域為．

．

由 得： 或 ．

∵，∴．

∴時， 為增函數(shù)；

時， 為減函數(shù)；

時， 為增函數(shù)，

∴函數(shù)的遞增區(qū)間為和，

遞減區(qū)間為．

（2）在上至少存在一點，使成立，

等價于當時， ．

∵，∴．

由（Ⅰ）知， 時， 為增函數(shù)， 時， 為減函數(shù)．

∴在時， ．

∴．

檢驗，上式滿足，所以是所求范圍．

（3）當時，函數(shù)．構(gòu)造輔助函數(shù)，

并求導得．

顯然當時， ， 為減函數(shù)．

∴ 對任意，都有成立，即．

即．

又∵，

∴．