Question

如圖所示，AB是圓臺上底面⊙O的直徑，C是⊙O上不同于A、B的一點(diǎn)，D是圓臺下底面⊙O′上的一點(diǎn)，過A、B、C、D的截面垂直與底面，M是CD的中點(diǎn)，又AC=AD=2，∠CAD=120°，∠BCD=30°．
（1）求證AM⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DB-C的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BC⊥AC，BC⊥面ACD，從而得到BC⊥AM．由此證明AM⊥平面BCD．
（Ⅱ）作MG⊥BD于G，連接AG，由三垂線定理知∠AGM就是二面角A-DB-C的平面角．由此能求出二面角A-DB-C的正切值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：由AB是⊙O的直徑，C是⊙O上不同于A、B的一點(diǎn)，
知BC⊥AC．
∵面ACD⊥面ABC，∴BC⊥面ACD，∴BC⊥AM．
∵AC=AD，M是CD的中點(diǎn)，∴AM⊥CD，
∴AM⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）作MG⊥BD于G，連接AG．
由（1）知AM⊥平面BCD，根據(jù)三垂線定理得AG⊥BD，
∴∠AGM就是二面角A-DB-C的平面角．
∵AC=AD=2，∠CAD=120°，M是CD的中點(diǎn)，∴AM=1，DM=

3

，
在Rt△MGD中，MG=MDsin∠MDG=

3

3

sin30°=

3

2

．
∴在Rt△AMG中，tan∠AGM=

AM

MG

=

1

3 2

=

2 3

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．